¿Qué es la distribución logarítmica normal?
Una distribución logarítmica normal es una distribución continua de variables aleatorias cuyos logaritmos se distribuyen normalmente. En otras palabras, la distribución logarítmica normal es generada por la función de e x , donde se supone que x (variable aleatoria) tiene una distribución normal. En el logaritmo natural de e x es la x, los logaritmos de las variables aleatorias con distribución logarítmica normal se distribuyen normalmente.
Una variable X se distribuye normalmente si Y = ln (X), donde ln es el logaritmo natural.
- Y = e x
- Supongamos un logaritmo natural en ambos lados.
- lnY = ln e x que resulta en lnY = x
Por lo tanto, podemos decir que si X es una variable aleatoria y tiene una distribución normal, entonces Y tiene una distribución logarítmica normal.
Fórmula de distribución logarítmica normal
La fórmula para la función de densidad de probabilidad de la distribución logarítmica normal se define por la media μ y la desviación estándar σ, que se denota por:
Parámetros de distribución logarítmica normal
La distribución log-normal se caracteriza por los siguientes tres parámetros:
- σ , la desviación estándar del logaritmo de la distribución, que también se denomina parámetro de forma. El parámetro de forma generalmente afecta la forma general de la distribución logarítmica normal, pero no afecta la ubicación ni la altura del gráfico.
- m , la mediana de la distribución, también conocida como parámetro de escala.
- Θ , el parámetro de ubicación que se utiliza para ubicar el gráfico en el eje x.
La media y la desviación estándar son dos parámetros principales de la distribución logarítmica normal y se definen explícitamente mediante estos dos parámetros.
La siguiente figura ilustra la distribución normal y la distribución log-normal.
De la figura anterior, pudimos observar las siguientes características de la distribución logarítmica normal.
- Las distribuciones log-normales están sesgadas positivamente hacia la derecha debido a valores medios más bajos y una mayor varianza en las variables aleatorias en consideraciones.
- La distribución logarítmica normal siempre está acotada desde abajo por 0, ya que ayuda a modelar los precios de los activos, que no se espera que tengan valores negativos.
- La distribución logarítmica normal está sesgada positivamente con una gran cantidad de valores pequeños e incluye algunos valores principales, lo que hace que la media sea mayor que la moda con mucha frecuencia.
De la figura anterior, pudimos observar que la distribución logarítmica normal está limitada por 0, y está sesgada positivamente hacia la derecha, lo que podría notarse por su larga cola hacia la derecha. Estas dos observaciones se consideran las principales propiedades de las distribuciones logarítmicas normales. En la práctica, las distribuciones logarítmicas normales resultaron muy útiles en la distribución de los precios de las acciones o de los activos, mientras que la distribución normal es muy útil para estimar los rendimientos esperados del activo durante un período de tiempo.
Ejemplos de distribución logarítmica normal
Los siguientes son algunos ejemplos en los que se pueden utilizar distribuciones log-normales:
- El volumen de gas en reserva de energía y petróleo.
- El volumen de producción de leche.
- La cantidad de lluvia.
- La vida potencial de las unidades industriales y de fabricación cuyas posibilidades de supervivencia se caracterizan por la tasa de estrés.
- La extensión de los períodos en los que existe una enfermedad infecciosa.
Aplicación y usos de la distribución logarítmica normal
Las siguientes son aplicaciones y usos de la distribución log-normal.
- La distribución más utilizada y popular es una distribución normal, que se distribuye normalmente y es simétrica y forma una curva en forma de campana que ha modelado varios naturales desde simples hasta muy complejos.
- Pero hay casos en los que la distribución normal se enfrenta a limitaciones en las que la distribución logarítmica normal se puede aplicar fácilmente. La distribución normal puede considerar una variable aleatoria negativa, pero la distribución logarítmica normal solo contempla variables aleatorias positivas.
- Una de las diversas aplicaciones donde la distribución logarítmica normal se utiliza en finanzas donde se aplica en el análisis de precios de activos. El rendimiento esperado de los activos se representa gráficamente en una distribución normal, pero los precios de los activos se representan gráficamente en una distribución logarítmica normal.
- Con la ayuda de la curva de distribución logarítmica normal, podemos calcular fácilmente la tasa compuesta de rendimiento de los activos durante un período de tiempo.
- En caso de que apliquemos una distribución normal para calcular los precios de los activos durante un período de tiempo, existen posibilidades de obtener retornos menores al -100%, lo que posteriormente asume los precios de los activos menores a 0. Pero si usamos la distribución logarítmica normal para estimar el compuesto tasa de rendimiento durante un período de tiempo, podemos evitar fácilmente la situación de obtener rendimientos negativos, ya que la distribución logarítmica normal considera solo variables aleatorias positivas.
- Un precio relativo es el precio del activo al final del período dividido por el precio inicial del activo, que es igual a 1 más los rendimientos del período de tenencia. Para encontrar el precio final del activo del período, podemos obtener el mismo multiplicándolo por el precio relativo por el precio inicial del activo. La distribución logarítmica normal toma solo valor positivo; por lo tanto, el precio del activo al final del período no puede ser inferior a 0.
Distribución logarítmica normal en el modelado de precios de acciones de acciones
La distribución logarítmica normal se ha utilizado para modelar la distribución de probabilidad de las acciones y muchos otros precios de los activos. Por ejemplo, hemos observado que aparece un ser logarítmico normal en el modelo de fijación de precios de opciones de Black-Scholes-Merton, donde se supone que el precio de una opción de activo subyacente se distribuye logarítmicamente normal al mismo tiempo.
Conclusión
- La distribución normal es la distribución de probabilidad, que se dice que es la curva asimétrica y en forma de campana. En una distribución normal, el 69% del resultado cae dentro de una desviación estándar y el 95% cae dentro de las dos desviaciones estándar.
- Debido a la popularidad de la distribución normal, la mayoría de las personas están familiarizadas con el concepto y la aplicación de la distribución normal, pero en ese momento, no parecen igualmente familiarizados con el concepto de distribución logarítmica normal. La distribución normal se puede convertir en distribución logarítmica normal con la ayuda de logaritmos, que se convierte en la base fundamental ya que las distribuciones logarítmicas normales consideran la única variable aleatoria que se distribuye normalmente.
- Las distribuciones lognormales se pueden utilizar junto con la distribución normal. Las distribuciones logarítmicas normales son el resultado de suponer el logaritmo natural ln en el que la base es igual ae = 2.718. Además de la base dada, la distribución logarítmica normal podría realizarse utilizando otra base, que posteriormente impactaría la forma de la distribución logarítmica normal.
- La distribución logarítmica normal representa gráficamente el logaritmo de las variables aleatorias distribuidas normalmente a partir de las curvas de distribución normal. El ln, el logaritmo natural se conoce como e, exponente al que se debe elevar una base para obtener la variable aleatoria x deseada, que podría encontrarse en la curva de distribución normal.
