Fórmula para calcular la prueba Z en estadística
Z = (x - μ) / ơLa prueba Z en estadística se refiere a la prueba de hipótesis que se utiliza para determinar si las medias de las dos muestras calculadas son diferentes, en caso de que las desviaciones estándar estén disponibles y la muestra sea grande.
donde x = cualquier valor de la población
- μ = media de la población
- ơ = desviación estándar de la población
En el caso de una muestra, la fórmula para las estadísticas de valor de la prueba z se calcula deduciendo la media de la muestra del valor x. Luego, el resultado se divide por la desviación estándar de la muestra. Matemáticamente, se representa como,
Z = (x - x_medio ) / sdónde
- x = cualquier valor de la muestra
- x_mean = media de la muestra
- s = desviación estándar de la muestra
Cálculo de la prueba Z (paso a paso)
La fórmula para las estadísticas de la prueba z para una población se obtiene mediante los siguientes pasos:
- Paso 1: En primer lugar, calcule las medias de la población y la desviación estándar de la población con base en la observación capturada en la media de la población, y cada observación se denota con x i . El número total de observaciones en la población se denota con N.
Media poblacional,
Desviación estándar de población,
- Paso 2: Finalmente, las estadísticas de la prueba z se calculan deduciendo la media de la población de la variable y luego el resultado se divide por la desviación estándar de la población, como se muestra a continuación.
Z = (x - μ) / ơ
La fórmula para las estadísticas de la prueba z para una muestra se obtiene mediante los siguientes pasos:
- Paso 1: En primer lugar, calcule la media muestral y la desviación estándar muestral de la misma manera que se indicó anteriormente. Aquí, el número total de observaciones en la muestra se denota por n tal que n <N.
Muestra promedio,
Desviación estándar de la muestra,
- Paso 2: Finalmente, las estadísticas de la prueba z se calculan deduciendo la media de la muestra del valor de x, y luego el resultado se divide por la desviación estándar de la muestra, como se muestra a continuación.
Z = (x - x_medio ) / s
Ejemplos
Ejemplo 1
Supongamos una población de estudiantes de una escuela que se presentó a una prueba de clase. La puntuación media en la prueba es 75 y la desviación estándar es 15. Determine la puntuación de la prueba z de David, quien obtuvo 90 en la prueba.
Dado,
- La media de la población, μ = 75
- Desviación estándar de la población, ơ = 15
Por lo tanto, las estadísticas de la prueba z se pueden calcular como,
Z = (90 - 75) / 15
Las estadísticas de la prueba Z serán:
- Z = 1
Por lo tanto, la puntuación de la prueba de David es una desviación estándar por encima de la puntuación media de la población, es decir, según la tabla de puntuación z, el 84,13% de los estudiantes puntúan menos que David.
Ejemplo # 2
Tomemos el ejemplo de 30 estudiantes seleccionados como parte de un equipo de muestra para ser encuestados y ver cuántos lápices se estaban usando en una semana. Determinar la puntuación de la prueba z para el 3 rd estudiante de sobre la base de las respuestas dadas: 3, 2, 5, 6, 4, 7, 4, 3, 3, 8, 3, 1, 3, 6, 5, 2, 4, 3, 6, 4, 5, 2, 2, 4, 4, 2, 8, 3, 6, 7.
Dado,
- x = 5, ya que el 3 rd respuesta del estudiante, es 5
- Tamaño de muestra, n = 30
Media muestral, = (3 + 2 + 5 + 6 + 4 + 7 + 4 + 3 + 3 + 8 + 3 + 1 + 3 + 6 + 5 + 2 + 4 + 3 + 6 + 4 + 5 + 2 + 2 + 4 + 4 + 2 + 8 + 3 + 6 + 7) / 30
Media = 4,17
Ahora, la desviación estándar de la muestra se puede calcular utilizando la fórmula anterior.
ơ = 1,90
Por lo tanto, la puntuación de la prueba z para el 3 er estudiante puede calcularse como,
Z = (x - x) / s
- Z = (5-17) / 1,90
- Z = 0,44
Por lo tanto, la 3 rd uso del estudiante es 0,44 veces la desviación estándar por encima de la utilización media de la es decir, la muestra según tabla de puntuación Z-, 67% estudiantes utilizan menos lápices que la 3 rd estudiante.
Ejemplo # 3
Tomemos el ejemplo de 30 estudiantes seleccionados como parte de un equipo de muestra para ser encuestados y ver cuántos lápices se estaban usando en una semana. Determinar la puntuación de la prueba z para el 3 rd estudiante de sobre la base de las respuestas dadas: 3, 2, 5, 6, 4, 7, 4, 3, 3, 8, 3, 1, 3, 6, 5, 2, 4, 3, 6, 4, 5, 2, 2, 4, 4, 2, 8, 3, 6, 7.
A continuación se proporcionan datos para el cálculo de las estadísticas de prueba Z.
Puede consultar la hoja de Excel proporcionada a continuación para obtener el cálculo detallado de las estadísticas de prueba Z.
Relevancia y usos
Es esencial comprender el concepto de estadísticos de prueba z porque generalmente se usa siempre que sea discutible si un estadístico de prueba sigue una distribución normal bajo la hipótesis nula en cuestión. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que una prueba z se usa solo cuando el tamaño de la muestra es mayor que 30; de lo contrario, se utiliza la prueba t.
