Fórmula para calcular la distribución normal estándar
La distribución normal estándar es un tipo de distribución de probabilidad que es simétrica con respecto al promedio o la media, que muestra que los datos cercanos al promedio o la media ocurren con más frecuencia en comparación con los datos que están lejos del promedio o de la media. Una puntuación en la distribución normal estándar puede denominarse "puntuación Z".
La fórmula de distribución normal estándar se representa a continuación:
Z - Puntuación = (X - µ) / σ
Dónde,
- X es una variable aleatoria normal
- µ es el promedio o la media
- σ es la desviación estándar
Entonces necesitamos derivar la probabilidad de la tabla anterior.
Explicación
La distribución normal estándar en palabras de orden denominadas distribución Z tiene las siguientes propiedades:
- Tiene un promedio o dice la media de cero.
- Tiene una desviación estándar, que es igual a 1.
Usando la tabla normal estándar, podemos encontrar las áreas bajo la curva de densidad. El puntaje Z es doloroso en la distribución normal estándar y debe interpretarse como el número de desviaciones estándar donde el punto de datos está por debajo o por encima del promedio o la media.
Un puntaje Z negativo indicará un puntaje que está por debajo de la media o el promedio, mientras que un puntaje Z positivo indicará que el punto de datos está por encima de la media o el promedio.
La distribución normal estándar sigue la regla 68-95-99.70, que también se llama regla empírica, y según ese sesenta y ocho por ciento de los datos dados o los valores deben estar dentro de 1 desviación estándar del promedio o la media, mientras que el noventa y cinco por ciento debe caer dentro de 2 desviaciones estándar, y finalmente, el noventa y nueve decimal siete por ciento del valor o los datos deben caer dentro de 3 desviaciones estándar del promedio o de la media.
Ejemplos
Ejemplo 1
Considere la media que se le dio como 850, la desviación estándar como 100. Debe calcular la distribución normal estándar para una puntuación superior a 940.
Solución:
Utilice los siguientes datos para el cálculo de la distribución normal estándar.
Entonces, el cálculo de la puntuación z se puede hacer de la siguiente manera:
Z - puntuación = (X - µ) / σ
= (940 - 850) / 100
La puntuación Z será -
Puntuación Z = 0,90
Ahora, usando la tabla anterior de la distribución normal estándar, tenemos un valor de 0.90 como 0.8159, y necesitamos calcular la puntuación por encima de la que es P (Z> 0.90).
Necesitamos el camino correcto hacia la mesa. Por tanto, la probabilidad sería 1 - 0,8159, que es igual a 0,1841.
Así, solo el 18,41% de las puntuaciones se sitúan por encima de 940.
Ejemplo # 2
Sunita toma clases particulares de asignaturas de matemáticas y actualmente tiene alrededor de 100 estudiantes inscritos bajo su dirección. Después de la primera prueba que tomó para sus estudiantes, obtuvo los siguientes números promedio, calificó por ellos y los clasificó por percentiles.
Solución:
Primero, trazamos lo que estamos apuntando, que es el lado izquierdo de la cura. P (Z <75).
Utilice los siguientes datos para el cálculo de la distribución normal estándar.
Para eso, primero debemos calcular la media y la desviación estándar.
El cálculo de la media se puede hacer de la siguiente manera:
Media = (98 + 40 + 55 + 77 + 76 + 80 + 85 + 82 + 65 + 77) / 10
Media = 73,50
El cálculo de la desviación estándar se puede hacer de la siguiente manera:
Desviación estándar = √ (∑ (x - x) / (n-1))
Desviación estándar = 16,38
Entonces, el cálculo de la puntuación z se puede hacer de la siguiente manera:
Z - puntuación = (X - µ) / σ
= (75 - 73,50) / 16,38
La puntuación Z será -
Puntaje Z = 0.09
Ahora, usando la tabla anterior de una distribución normal estándar, tenemos el valor de 0.09 como 0.5359 y ese es el valor de P (Z <0.09).
Por lo tanto, el 53,59% de los estudiantes obtuvo una puntuación por debajo de 75.
Ejemplo # 3
Vista limited es una sala de exposición de equipos electrónicos. Quiere analizar su comportamiento como consumidor. Tiene alrededor de 10.000 clientes en la ciudad. En promedio, el cliente gasta 25.000 en su tienda. Sin embargo, el gasto varía significativamente a medida que los clientes gastan de 22,000 a 30,000 y el promedio de esta variación alrededor de 10,000 clientes que la administración de vista limited ha obtenido es de alrededor de 500.
La gerencia de Vista Limited se ha acercado a usted y están interesados en saber qué proporción de sus clientes gastan más de 26.000. Suponga que las cifras de gastos del cliente se distribuyen normalmente.
Solución:
Primero, trazamos lo que estamos apuntando, que es el lado izquierdo de la cura. P (Z> 26000).
Utilice los siguientes datos para el cálculo de la distribución normal estándar.
El cálculo de la puntuación z se puede hacer de la siguiente manera:
Z - puntuación = (X - µ) / σ
= (26000 - 25000) / 500
Z Score será-
Puntuación Z = 2
El cálculo de la distribución normal estándar se puede realizar de la siguiente manera:
La distribución normal estándar será-
Ahora, usando la tabla anterior de la distribución normal estándar, tenemos un valor para 2.00, que es 0.9772, y ahora necesitamos calcular P (Z> 2).
Necesitamos el camino correcto hacia la mesa. Por tanto, la probabilidad sería 1 - 0,9772, que es igual a 0,0228.
De ahí que el 2,28% de los consumidores gaste por encima de 26000.
Relevancia y uso
Para tomar una decisión informada y adecuada, es necesario convertir todos los puntajes a una escala similar. Es necesario estandarizar esos puntajes, convirtiéndolos todos a la distribución normal estándar utilizando el método de puntaje Z, con una sola desviación estándar y un solo promedio o la media. Principalmente, esto se utiliza en el campo de las estadísticas y también en el campo de las finanzas que también los comerciantes.
Muchas teorías estadísticas han intentado modelar los precios del activo (en los campos de las finanzas) bajo el supuesto principal de que seguirán este tipo de distribución normal. Las distribuciones de precios tienden en su mayoría a tener colas más gruesas y, por lo tanto, tienen curtosis, que es mayor que 3 en escenarios de la vida real. Se ha observado que dichos activos tienen movimientos de precios superiores a 3 desviaciones estándar más allá del promedio o de la media y más a menudo que el supuesto esperado en una distribución normal.
