Función Totient de Euler: significado, ejemplos, ¿cómo calcular?

¿Qué es la función Totient de Euler?

La función Totient de Euler son las funciones matemáticas multiplicativas que cuentan los enteros positivos hasta el entero dado generalmente llamado 'n' que son un número primo de 'n' y la función se usa para saber el número de números primos que existen hasta el dado el entero 'n'.

Explicación

Para saber cuántos números primos llegan al entero dado, se utiliza la función Totient de Euler. También se le llama función aritmética. Para una aplicación o uso de la función Totient de Euler, dos cosas son importantes. Uno es que el mcd formado a partir del entero 'n' debe ser multiplicativo entre sí, y el otro es que los números de mcd deben ser únicamente números primos. El número entero 'n' en este caso debería ser mayor que 1. A partir de un número entero negativo, no es posible calcular la función Totient de Euler. El principio, en este caso, es que para ϕ (n), los multiplicadores llamados myn deben ser mayores que 1. Por lo tanto, denotados por 1

Historia

Euler introdujo esta función en 1763. Inicialmente, Euler usó el griego π para la denotación de la función, pero debido a algunos problemas, su denotación del griego π no obtuvo el reconocimiento. Y no le dio el signo de notación adecuado, es decir, ϕ. Por tanto, no se puede introducir la función. Además, ϕ se tomó de las Disquisitiones Arithmeticae de 1801 de Gauss. La función también se denomina función phi. Pero JJ Sylvester, en 1879, incluyó el término totient para esta función debido a las propiedades y los usos de las funciones. Las diferentes reglas están enmarcadas para tratar con diferentes tipos de números enteros dados como si el entero p es un número primo, entonces qué regla se aplicará, etc.Todas las reglas enmarcadas por Euler son practicables y pueden usarse incluso hoy al tratar con mismo.

Propiedades de la función Totient de Euler

Hay algunas de las diferentes propiedades. Algunas de las propiedades de la función totient de Euler son las siguientes:

  • Φ es el símbolo utilizado para denotar la función.
  • La función se ocupa de la teoría de los números primos.
  • La función es aplicable solo en el caso de números enteros positivos.
  • Para ϕ (n), se deben encontrar dos números primos multiplicativos para calcular la función.
  • La función es una función matemática y útil de muchas formas.
  • Si el entero 'n' es un número primo, entonces mcd (m, n) = 1.
  • La función trabaja en la fórmula 1 <m <n donde myn son los números primos y multiplicativos.
  • En general, la ecuación es
Φ (mn) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • La función básicamente cuenta el número de enteros positivos menores que el entero dado, que son números primos relativamente del entero dado.
  • Si dado el entero p es primo, entonces ϕ (p) = p - 1
  • Si la potencia de p es prima, entonces, si a = p n es una potencia prima, entonces ϕ (p n ) = p n - p (n-1)
  • ϕ (n) no es uno - uno
  • ϕ (n) no está en.
  • ϕ (n), n> 3 es siempre par.
  • ϕ (10 norte ) = 4 * 10 norte-1

Calcular la función Totient de Euler

Ejemplo 1

Calcular ϕ (7)?

Solución:

ϕ (7) = (1,2,3,4,5,6) = 6

Como todos los números son primos hasta 7, fue fácil calcular ϕ.

Ejemplo # 2

Calcular ϕ (100)?

Solución:

Como 100 es un número grande, lleva mucho tiempo calcular de 1 a 100 los números primos que son números primos con 100. Por lo tanto, aplicamos la siguiente fórmula:

  • ϕ (100) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5)
  • = 100 * 1/2 * 4/5
  • = 40

Ejemplo # 3

Calcular ϕ (240)?

Los múltiplos de 240 son 16 * 5 * 3, es decir, 2 4 * 5 * 3

  • ϕ (240) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (240) = 2 4 * 5 * 3

si n M no es un número primo, usamos n m - n m-1

  • = (2 4 - 2 (4-1) ) * (5 1 - 5 (1-1) ) * (3 1 - 3 (1-1) )
  • = (2 4 - 2 3 ) * (5 - 1) * (3 - 1)
  • = 64

Ejemplo # 4

Calcular ϕ (49)?

  • ϕ (49) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (49) = ϕ (7) * ϕ (7)
  • = (7 1 - 7 (1-1) ) * (7 1 - 7 (1-1) )
  • = (7-1) * (7-1)
  • = 6 * 6
  • = 36

Aplicaciones

Las diversas aplicaciones son las siguientes:

  • La función se utiliza para definir el sistema de cifrado RSA utilizado para el cifrado de seguridad de Internet.
  • Utilizado en la teoría de los números primos.
  • También se utiliza en cálculos grandes.
  • Utilizado en aplicaciones de la teoría de números elementales.

Conclusión

La función totient de Euler es útil de muchas formas. Se utiliza en el sistema de cifrado RSA, que se utiliza con fines de seguridad. La función se ocupa de la teoría de los números primos y también es útil en el cálculo de grandes cálculos. La función también se usa en cálculos algebraicos y números elementales. El símbolo usado para denotar la función es ϕ, y también se le llama función phi. La función consiste en un uso más teórico que en un uso práctico. El uso práctico de la función es limitado. La función se puede comprender mejor a través de varios ejemplos prácticos en lugar de solo explicaciones teóricas. Existen varias reglas para calcular la función totient de Euler, y para diferentes números, se deben aplicar diferentes reglas. La función se introdujo por primera vez en 1763, pero debido a algunos problemas,obtuvo reconocimiento en 1784 y el nombre fue modificado en 1879. La función es una función universal y se puede aplicar en todas partes.

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