Fórmula para calcular Z-Score
La puntuación Z de los datos brutos se refiere a la puntuación generada al medir cuántas desviaciones estándar por encima o por debajo de la media de la población están los datos, lo que ayuda a probar la hipótesis en consideración. En otras palabras, es la distancia de un punto de datos a la media poblacional que se expresa como un múltiplo de la desviación estándar.
- Las puntuaciones z varían en el rango de -3 veces la desviación estándar (extremo izquierdo de la distribución normal) a +3 veces la desviación estándar (extremo derecho de la distribución normal).
- Las puntuaciones z tienen una media de 0 y una desviación estándar de 1.
La ecuación para el puntaje z de un punto de datos se calcula restando la media de la población del punto de datos (denominado x ), y luego el resultado se divide por la desviación estándar de la población. Matemáticamente, se representa como,
Puntuación Z = (x - μ) / ơ
dónde
- x = Punto de datos
- μ = Media
- ơ = Desviación estándar
Cálculo de la puntuación Z (paso a paso)
La ecuación para la puntuación z de un punto de datos se puede derivar mediante los siguientes pasos:
- Paso 1: En primer lugar, determine la media del conjunto de datos basándose en los puntos de datos u observaciones, que se denotan con x i , mientras que el número total de puntos de datos en el conjunto de datos se denota con N.
- Paso 2: A continuación, determine la desviación estándar de la población sobre la base de la media poblacional μ, los puntos de datos x i y el número de puntos de datos en la población N.
- Paso 3: Finalmente, el puntaje z se obtiene restando la media del punto de datos y luego el resultado se divide por la desviación estándar, como se muestra a continuación.
Ejemplos
Ejemplo 1
Tomemos el ejemplo de una clase de 50 estudiantes que redactaron el examen de ciencias la semana pasada. Hoy es el día de los resultados, y el maestro de la clase me dijo que John obtuvo un puntaje de 93 en la prueba mientras que el puntaje promedio de la clase fue de 68. Determine el puntaje z para la nota de John en la prueba si la desviación estándar es 13.
Solución:
Dado,
- Puntuación de la prueba de John, x = 93
- Media, μ = 68
- Desviación estándar, ơ = 13
Por lo tanto, el puntaje z para el puntaje de la prueba de John se puede calcular usando la fórmula anterior como,
Z = (93 - 68) / 13
La puntuación Z será -
Puntuación Z = 1,92
Por lo tanto, el puntaje de la prueba Z de John es 1.92 desviación estándar por encima del puntaje promedio de la clase, lo que significa que el 97.26% de la clase (49 estudiantes) obtuvo un puntaje menor que John.
Ejemplo # 2
Tomemos otro ejemplo detallado de 30 estudiantes (ya que la prueba z no es apropiada para menos de 30 puntos de datos) que se presentaron para una prueba de clase. Determine el puntaje de la prueba z para el 4 ° estudiante de basado en las calificaciones obtenidas por los estudiantes de 100 - 55, 67, 84, 65, 59, 68, 77, 95, 88, 78, 53, 81, 73, 66, 65, 52, 54, 83, 86, 94, 85, 72, 62, 64, 74, 82, 58, 57, 51, 91.
Solución:
Dado,
- x = 65,
- 4 º estudiante anotó = 65,
- Número de puntos de datos, N = 30.
Media = (55 + 67 + 84 + 65 + 59 + 68 + 77 + 95 + 88 + 78 + 53 + 81 + 73 + 66 + 65 + 52 + 54 + 83 + 86 + 94 + 85 + 72 + 62 + 64 + 74 + 82 + 58 + 57 + 51 + 91) / 30
Media = 71,30
Ahora, la desviación estándar se puede calcular utilizando la fórmula que se muestra a continuación,
ơ = 13,44
Por lo tanto, la puntuación Z del 4º alumno se puede calcular usando la fórmula anterior como,
Z = (x - x) / s
- Z = (65-30) / 13,44
- Z = -0,47
Por lo tanto, el puntaje del 4º estudiante es 0.47 desviación estándar por debajo del puntaje promedio de la clase, lo que significa que el 31.92% de la clase (10 estudiantes) obtuvo un puntaje menor que el 4º estudiante según la tabla de puntaje z.
Puntaje Z en Excel (con plantilla de Excel)
Ahora, tomemos el caso mencionado en el ejemplo 2 para ilustrar el concepto de puntaje z en la plantilla de Excel a continuación.
A continuación se proporcionan datos para el cálculo de la puntuación Z.
Puede consultar la hoja de Excel proporcionada a continuación para obtener el cálculo detallado de las estadísticas de prueba de la fórmula de puntuación Z.
Relevancia y usos
Desde la perspectiva de la prueba de hipótesis, la puntuación z es un concepto muy importante de entender porque se emplea para probar si una estadística de prueba cae o no en el rango de valor aceptable. La puntuación z también se utiliza para estandarizar los datos antes del análisis, calcular la probabilidad de una puntuación o comparar dos o más puntos de datos, que son de diferentes distribuciones normales. Existen diversas aplicaciones de z-score en todos los campos si se aplica correctamente.
