Definición del teorema del límite central
El teorema del límite central establece que las muestras aleatorias de una población variable aleatoria con cualquier distribución se acercarán a ser una distribución de probabilidad normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra y asume que a medida que el tamaño de la muestra en la población supera los 30, la media de la muestra que el promedio de todas las observaciones de la muestra b cerca de ser igual al promedio de la población.
Fórmula del teorema del límite central
Ya hemos comentado que cuando el tamaño de la muestra supera los 30, la distribución toma la forma de una distribución normal. Para determinar la distribución normal de una variable, es importante conocer su media y su varianza. Una distribución normal se puede establecer como
X ~ N (µ, α)
Dónde
- N = no de observaciones
- µ = media de las observaciones
- α = desviación estándar
En la mayoría de los casos, las observaciones no revelan mucho en su forma original. Por eso es vital estandarizar las observaciones para poder comparar eso. Se hace con la ayuda de la puntuación z. Es necesario calcular la puntuación Z para una observación. La fórmula para calcular el puntaje z es
Z = (X- µ) / α / √n
Dónde
- Z = puntuación Z de las observaciones
- µ = media de las observaciones
- α = desviación estándar
- n = tamaño de la muestra
Explicación
El teorema del límite central establece que las muestras aleatorias de una variable de población aleatoria con cualquier distribución se acercarán a ser una distribución de probabilidad normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra. El teorema del límite central asume que como el tamaño de la muestra en la población excede 30, la media de la muestra, que es el promedio de todas las observaciones de la muestra, será casi igual al promedio de la población. Además, la desviación estándar de la muestra cuando el tamaño de la muestra excede 30 será igual a la desviación estándar de la población. Como la muestra se elige aleatoriamente de toda la población y el tamaño de la muestra es más de 30, esto ayuda en la prueba de hipótesis y en la construcción del intervalo de confianza para la prueba de hipótesis.
Ejemplos de fórmula del teorema del límite central (con plantilla de Excel)
Ejemplo 1
Entendamos el concepto de distribución normal con la ayuda de un ejemplo. El rendimiento medio de un fondo mutuo es del 12% y la desviación estándar del rendimiento medio de la inversión del fondo mutuo es del 18%. Si asumimos que la distribución del rendimiento se distribuye normalmente, interpretemos la distribución del rendimiento en la inversión del fondo mutuo.
Dado,
- El retorno medio de la inversión será del 12%.
- La desviación estándar será del 18%.
Entonces, para averiguar el rendimiento de un intervalo de confianza del 95%, podemos averiguarlo resolviendo la ecuación como
- Rango superior = 12 + 1,96 (18) = 47%
- Rango inferior = 12 - 1,96 (18) = -23%
El resultado significa que el 95% de las veces, el rendimiento del fondo mutuo estará en el rango de 47% a -23%. En este ejemplo, el tamaño de la muestra, que es el rendimiento de una muestra aleatoria de más de 30 observaciones de rendimiento, nos proporcionará el resultado del rendimiento de la población del fondo mutuo, ya que la distribución de la muestra se distribuirá normalmente.
Ejemplo # 2
Continuando con el mismo ejemplo, determinemos cuál será el resultado para un intervalo de confianza del 90%.
Dado,
- El retorno medio de la inversión será del 12%.
- La desviación estándar será del 18%.
Entonces, para encontrar el retorno para un intervalo de confianza del 90%, podemos averiguarlo resolviendo la ecuación como
- Rango superior = 12 + 1,65 (18) = 42%
- Rango inferior = 12 - 1,65 (18) = -18%
El resultado significa que el 90% de las veces, el rendimiento del fondo mutuo estará en el rango de 42% a -18%.
Ejemplo # 3
Continuando con el mismo ejemplo, determinemos cuál será el resultado para un intervalo de confianza del 99%.
Dado,
- El retorno medio de la inversión será del 12%.
- La desviación estándar será del 18%.
Entonces, para encontrar el retorno para un intervalo de confianza del 90%, podemos averiguarlo resolviendo la ecuación como
- Rango superior = 12 + 2.58 (18) = 58%
- Rango inferior = 12 - 2,58 (18) = -34%
El resultado significa que el 99% de las veces, el rendimiento del fondo mutuo estará en el rango de 58% a -34%.
Relevancia y uso
El teorema del límite central es extremadamente beneficioso ya que permite al investigador predecir la media y la desviación estándar de toda la población con la ayuda de la muestra. Como la muestra se elige al azar de toda la población y el tamaño de la muestra es más de 30, entonces cualquier tamaño de muestra aleatorio tomado de la población se acercará a estar distribuido normalmente, lo que ayudará a probar hipótesis y construir el intervalo de confianza para prueba de hipótesis. Según el teorema del límite central, el investigador puede elegir cualquier muestra aleatoria de toda la población, y cuando el tamaño de la muestra es superior a 30,entonces puede predecir la población con la ayuda de la muestra, ya que la muestra seguirá una distribución normal y también como la media y la desviación estándar de la muestra serán las mismas que la media y la desviación estándar de la población.
