¿Qué es la distribución de Poisson?
En las estadísticas, la distribución de Poisson se refiere a la función de distribución que se utiliza para analizar la varianza que surge contra la ocurrencia de un evento particular en un promedio bajo cada uno de los marcos de tiempo, es decir, usando este se puede encontrar la probabilidad de un evento en específico. tiempo del evento y varianza con respecto a un número promedio de ocurrencias.
La ecuación de distribución de Poisson se da a continuación:
P (x; u) = (e -u ) * (u x ) / x!
Dónde
- u = número promedio de ocurrencias durante el período de tiempo
- P (x; u) = probabilidad de x número de instancias durante el período de tiempo
- X = número de ocurrencias para las que es necesario conocer la probabilidad
Explicación
La fórmula es la siguiente:
P (x; u) = (e -u). (U x) / x!
Dónde
- u = número promedio de ocurrencias durante el período de tiempo
- X = número de ocurrencias para las que es necesario conocer la probabilidad
- P (x; u) = probabilidad de x número de instancias durante el período de tiempo dado que u es un número promedio de ocurrencias
- e = número de Euler, que es la base del logaritmo natural, aprox. el valor de e es 2,72
- ¡X! = Se conoce como x factorial. El factorial de un número es un producto de ese número entero y todos los números enteros siguientes. Por ej. 4! = 4 * 3 * 2 * 1
Ejemplos
Ejemplo 1
Tomemos un ejemplo simple de una fórmula de distribución de Poisson. La ocurrencia promedio de un evento en un período de tiempo dado es 10. ¿Cuál sería la probabilidad de que ocurra ese evento 15 veces?
En este ejemplo, u = número promedio de ocurrencias del evento = 10
Y x = 15
Por lo tanto, el cálculo se puede hacer de la siguiente manera,
P (15; 10) = e (- 10) * 10 15/15!
P (15; 10) = 0.0347 = 3.47%
Por lo tanto, existe una probabilidad del 3.47% de que ese evento ocurra 15 veces.
Ejemplo # 2
El uso de la ecuación de distribución de Poisson puede verse visiblemente para mejorar la productividad y la eficiencia operativa de una empresa. Se puede utilizar para averiguar si es económicamente viable abrir una tienda las 24 horas del día.
Digamos que Walmart en los EE. UU. Planea abrir su tienda las 24 horas del día. Para conocer la viabilidad de esta opción, en un primer momento, la gerencia de Walmart averiguará el promedio de ventas entre las 12 de la noche y las 8 de la mañana. Ahora calculará su costo operativo total para el turno de trabajo de 12 am a 8 pm. Con base en este costo operativo, la gerencia de Walmart sabe cuál es el número mínimo de unidades de ventas para alcanzar el punto de equilibrio. Luego, con la fórmula de distribución de Poisson, encontrará la probabilidad de ese número de ventas y verá si es viable abrir la tienda las 24 horas del día o no.
Por ejemplo, digamos que el costo promedio de operación en un día es de $ 10,000 de 12 am a 8 pm. Las ventas promedio serían de $ 10,200 en ese momento. Para el punto de equilibrio, las ventas diarias deben ser de $ 10,000. Ahora averiguaremos la probabilidad de ventas de $ 10,000 o menos en un día para poder alcanzar el punto de equilibrio.
Por lo tanto, el cálculo se puede hacer de la siguiente manera,
P (10,000,10200) = POISSON.DIST (10200,10000, TRUE)
P (10,000,10200) = 97.7%
Por lo tanto, existe una probabilidad del 97,7% de que se venda $ 10,000 o menos en un día. De la misma manera, existe una probabilidad del 50,3% de obtener $ 10,200 o menos dell en un día. Eso significa que entre 10,000 y 10,200 la probabilidad de ventas es del 47,4%. Por lo tanto, existe una buena posibilidad de que la empresa alcance el punto de equilibrio.
Ejemplo # 3
Otro uso de la fórmula de distribución de Poisson es en la industria de seguros. Una compañía que está en el negocio de seguros determina el monto de su prima en función del número de reclamos y el monto reclamado por año. Entonces, para evaluar el monto de su prima, la compañía de seguros determinará el número promedio de un monto reclamado por año. Luego, basándose en ese promedio, también determinará el número mínimo y máximo de reclamos que se pueden presentar razonablemente en el año. Con base en el número máximo del monto de la reclamación y el costo y la ganancia de la prima, la compañía de seguros determinará qué tipo de monto de la prima será bueno para compensar su negocio.
Digamos que el número promedio de reclamos manejados por una compañía de seguros por día es 5. Averiguará cuál es la probabilidad de 10 reclamos por día.
Por lo tanto, el cálculo de la distribución de Poisson se puede hacer de la siguiente manera,
P (10; 5) = e (- 5). 5 10/10!
P (10; 5) = 1,81%
Por lo tanto, existe muy poca probabilidad de que la empresa tenga hasta 10 reclamaciones por día y pueda hacer su prima basándose en estos datos.
Relevancia y usos
La ecuación de distribución de Poisson es muy útil para descubrir una serie de eventos con un marco de tiempo dado y una tasa conocida. A continuación se muestran algunos de los usos de la fórmula:
- En la industria de los centros de llamadas, para averiguar la probabilidad de llamadas, lo que llevará más tiempo del habitual y, en función de eso, averiguar el tiempo medio de espera de los clientes.
- Conocer el número máximo y mínimo de ventas en horas impares y saber si es viable abrir una tienda en ese momento.
- Conocer la probabilidad de que se produzcan varios accidentes de tráfico en un intervalo de tiempo.
- Para averiguar la probabilidad de que llegue el número máximo de pacientes en un período de tiempo,
- Un número máximo y mínimo de clics en un sitio web.
- Para conocer las pisadas de visitantes en un centro comercial, restaurante, etc.
- Conocer la probabilidad de un número máximo y mínimo de una reclamación de seguro en un año.
Distribución de Poisson en Excel
Es muy fácil averiguar la distribución de Poisson usando Excel. Existe una función de Excel para averiguar la probabilidad de un evento. A continuación se muestra la sintaxis de la función:
Dónde
- x = número de ocurrencias para las que es necesario conocer la probabilidad
- Media = número promedio de ocurrencias durante el período de tiempo
- Acumulativo = su valor será Falso si necesitamos la ocurrencia exacta de un evento y Verdadero si un número de eventos aleatorios estará entre 0 y ese evento.
Tomaremos el mismo ejemplo 1 que hemos tomado anteriormente. Aquí x = 15, media = 10, y tendremos que encontrar la probabilidad de un número exacto de eventos. Entonces, el tercer argumento será falso.
Por lo tanto, P (15; 10) = POISSON.DIST (15,10, FALSE) = 0.0347 = 3.47%
Aquí obtuvimos el valor exacto usando la fórmula básica de Excel.
Supongamos en el ejemplo anterior; necesitamos averiguar la probabilidad de ocurrencia entre 0 y 15; luego, en la fórmula en lugar de falso, usaremos VERDADERO.
P (x <= 15) = POISSON.DIST (15,10, VERDADERO) = 95,1%
Eso significa que la probabilidad de ocurrencia del evento entre 0 y 15 con 15 inclusive es del 95,1%.
