Fórmula para calcular la desviación estándar de la muestra
La desviación estándar de la muestra se refiere a la métrica estadística que se usa para medir el grado en que una variable aleatoria diverge de la media de la muestra y se calcula sumando los cuadrados de la desviación de cada variable de la media, luego dividir el resultado por una cantidad de variables menos y luego calcular la raíz cuadrada en Excel del resultado.
Matemáticamente, se representa como,
σ = √ ∑ yo norte (xi - X) 2 / (n-1)
dónde
- x i = i ésima variable aleatoria
- X = Media de la muestra
- n = número de variables en la muestra
Cálculo de la desviación estándar de la muestra (paso a paso)
- Paso 1: en primer lugar, recopile variables aleatorias de una población de una gran cantidad de variables. Estas variables formarán una muestra. Las variables se denotan por x i .
- Paso 2: Luego, determine el número de variables en la muestra, y se denota con n.
- Paso 3: A continuación, determine la media de la muestra sumando todas las variables aleatorias y dividiendo el resultado por el número de variables de la muestra. La media muestral se denota con x.
- Paso 4: Luego, calcule la diferencia entre cada variable de la muestra y la media de la muestra, es decir, x i - x.
- Paso 5: Luego, calcule el cuadrado de todas las desviaciones, es decir (x i - x) 2 .
- Paso 6: A continuación, agregue todas las desviaciones al cuadrado, es decir, ∑ (x i - x) 2 .
- Paso 7: A continuación, divida la suma de todas las desviaciones al cuadrado por el número de variables de la muestra menos uno, es decir (n - 1).
- Paso 8: Finalmente, la fórmula para la desviación estándar de la muestra se calcula calculando la raíz cuadrada del resultado mencionado anteriormente, como se muestra a continuación.
Ejemplos
Ejemplo 1
Tomemos el ejemplo de una muestra de 5 estudiantes que fueron encuestados para ver cuántos lápices usaban cada semana. Calcule la desviación estándar de la muestra de basándose en sus respuestas dadas: 3, 2, 5, 6, 4
Dado,
- Tamaño de la muestra (n) = 5
A continuación se proporcionan datos para el cálculo de la desviación estándar de la muestra.
Muestra promedio
Cálculo de la media muestral
Media muestral = (3 + 2 + 5 + 6 + 4) / 5
Media muestral = 4
Los cuadrados de las desviaciones de cada variable se pueden calcular como se muestra a continuación,
- (3-4) 2 = 1
- (2-4) 2 = 4
- (5 - 4) 2 = 1
- (6 - 4) 2 = 4
- (4 - 4) 2 = 0
Ahora, la desviación estándar de la muestra se puede calcular utilizando la fórmula anterior como,
- ơ = √ ((1 + 4 + 1 + 4 + 0) / (5 - 1))
La desviación será -
- ơ = 1,58
Por lo tanto, la desviación estándar de la muestra es 1,58.
Ejemplo # 2
Tomemos el ejemplo de una oficina en Nueva York donde trabajan alrededor de 5.000 personas y se ha realizado una encuesta a una muestra de 10 personas para determinar la edad media de la población activa. Determine la desviación estándar de la muestra con base en las edades de las 10 personas dadas: 23, 27, 33, 28, 21, 24, 36, 32, 29, 25
Dado,
- Tamaño de muestra (n) = 10
Al usar los datos anteriores, primero calcularemos la media de la muestra
Muestra promedio
Cálculo de la media muestral
= (23 + 27 + 33 + 28 + 21 + 24 + 36 + 32 + 29 + 25) / 10
Media muestral = 27,8
Los cuadrados de las desviaciones de cada variable se pueden calcular como se muestra a continuación,
- (23 - 27,8) 2 = 23,04
- (27 - 27,8) 2 = 0,64
- (33 - 27,8) 2 = 27,04
- (28 - 27,8) 2 = 0,04
- (21 - 27,8) 2 = 46,24
- (24 - 27,8) 2 = 14,44
- (36 - 27,8) 2 = 67,24
- (32 - 27,8) 2 = 17,64
- (29 - 27,8) 2 = 1,44
- (25 - 27,8) 2 = 7,84
Desviación
Ahora, la desviación se puede calcular utilizando la fórmula anterior como,
- ơ = √ ((23.04 + 0.64 + 27.04 + 0.04 + 46.24 +14.44 +67.24 + 17.64 + 1.44 + 7.84) / (10 - 1))
La desviación será -
- ơ = 4,78
Puede consultar la hoja de Excel dada arriba para comprender el cálculo detallado.
Relevancia y usos
El concepto de desviación estándar de la muestra es muy importante desde la perspectiva de un estadístico porque, por lo general, se toma una muestra de datos de un conjunto de variables grandes (población) a partir de las cuales se espera que el estadístico calcule o generalice los resultados para toda la población. La medida de la desviación estándar no es una excepción a esto y, por lo tanto, el estadístico tiene que hacer una evaluación de la desviación estándar de la población sobre la base de la muestra extraída, y ahí es donde entra en juego dicha desviación.
